UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ

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अभ्यास 8 (a)

प्रश्न 1.
निम्नांकित के मान बताइए।
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 01

प्रश्न 2.
गुणनफल ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 2
प्रश्न 3.
निम्नांकित के गुणनफल ज्ञात कर माने ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 02

प्रश्न 4.
एक खेत में 2x क्यारियाँ हैं। प्रत्येक क्यारी में x y पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में y’ टमाटर के पौधे लगे हैं। ज्ञात कीजिए|
(i) खेत में कुल कितने पौधे लगे हैं?
हल :
खेत में पौधों की कुल संख्या = क्यारियाँ x पंक्तियाँ x पौधों की संख्या
= 2x × xy × xy
= 2 × x1+1 × y1+2 = 2x2y3 पौधे

(ii) यदि x = 3, y = 2, तो पौधों की संख्या कितनी है?
हल :
पौधों की संख्या = 2x2y3
= 2x (3)2 × (2)3
= 2 x 9 x 8 = 144 पौधे

अभ्यास 8 (b)

प्रश्न 1.
गुणी कीजिए:
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 4

प्रश्न 2.
सरल कीजिए:
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 5

प्रश्न 3.
सरल कीजिए :
(i) 2x (3x + 5y) – 5y (2x – 3y)
हल :
2x (3x + 5y) – 5y × (2x – 3y)
= 6x2 + 10xy – 10xy + 15y2 = 6x2 + 15y2

(ii) x (y – z) + 2y (z-x) + z (x -y)
हल :
x × (y – z) + 2y × (z – x) + z × (x – y)
= xy – xz + 2yz – 2xy + xz – yz = -xy + yz

(iii) y2 (y2 +1) – y3 (y +1) + y (y2 – y)
हल :
y2 × (y2 +1) – y3 × (y +1) + y × (y2 – y)
= y4 +y2 – y– y3 + y3 – y2 = 0

(iv) x (1+x2) – x2 – (x – 1) – (x +x2)
हल :
x (1+x2) – x2 × (x – 1) – (x +x2)
= x + x3 – x3 + x2 – x – x2 = 0

प्रश्न 4.
एक विद्यालय में 2x कक्षाएँ हैं। प्रत्येक कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या (x+ 2x +2) है। ज्ञात कीजिए :
(i) विद्यालय में विद्यार्थियों की कुल संख्या कितनी है?
हल :
विद्यालय में कक्षाएँ = 2x
प्रत्येक कक्षा में विद्यार्थी = (x2 + 2x + 2)
अत: विद्यालय में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 2x × (x3 + 2x + 2)
= 2x4 + 4x2 +4x विद्यार्थी

(ii) यदि x = 3, तो विद्यालय में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
हल :
विद्यार्थियों की संख्या = 2x4 + 4x2 +4x
यदि x = 3, तो कुल विद्यार्थियों की संख्या = 2 (3)4 +4 (3)2 +4 x 3
= 2 x 81 + 4 × 9+ 12
= 162 + 36 + 12 = 210

प्रश्न 5.
एक रेलगाड़ी की चाल (2x2 + x + 4) किमी प्रति घण्टा है। ज्ञात कीजिए:
(i) वह 3x घण्टे में कितनी दूरी तय करेगी?
हल :
रेलगाड़ी की चाल = (2x2 + x +4) किमी/घण्टा
अत: 3x घण्टे में चली गई दूरी = (2x2 + x + 4) x 3x
= 6x2 + 3x2 + 12x किमी

(ii) यदि x = 5, तो उपर्युक्त समय में रेलगाड़ी की चली गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
यदि x = 5 तो रेलगाड़ी द्वारा चली गई दूरी।
= 6x2 + 3x2 + 12x = 6 (5)3 +3 (5)2 + 12 x 5
= 6 × 125 + 3 × 25 + 60 = 750 + 75 + 60 = 885 किमी

प्रश्न 6.
एक न्याय पंचायत में 2x + 3 ग्राम सभाएँ हैं। प्रत्येक ग्राम सभा में x+5x+6 नलकूप हैं। तो न्याय पंचायत में कुल कितने नलकूप हैं?
हल :
एक ग्राम सभा में नलकूपों की संख्या = x2+ 5x +6
(2x+3) ग्राम सभाओं में नलकूपों की संख्या = (x+ 5x +6) × (2x+3)
= 2x+ 10x2 + 12x + 3x2 + 15x + 18
= 2x2 + 13x2 + 27x + 18

प्रश्न 7.
एक विकास खण्ड में 5x+3 विद्यालय में स्वच्छता के कारण प्रत्येक विद्यालय में 5x-3 बालिकाएँ बढ़ जाती हैं। तो विकास खण्ड में कितनी बालिकाएँ बढ़ जाती हैं?
हल :
एक विद्यालय में स्वच्छता के कारण बालिकाएँ बढ़ जाती हैं = (5x – 3)
(5x+3) विद्यालय में स्वच्छता के कारण बालिकाएँ बढ़ जाती हैं = (5x – 3) (5x + 3)
= 25x2 – 15x + 15x – 9
= 25x– 9

प्रश्न 8.
बाल दिवस के अवसर पर x+5 विद्यालयों के बच्चों द्वारा वृक्षारोपण किया गया। प्रत्येक विद्यालय के बच्चों ने x-5x+25 वृक्ष लगाए, तो बच्चों द्वारा कितने वृक्ष लगाए गए?
हल :
एक विद्यालय के बच्चों ने वृक्ष लगाए = x2 + 5x + 25
(x+5) विद्यालयों के बच्चों ने वृक्ष लगाए = (x2 – 5x + 25) × (x + 5)
= x3 -5x2 + 25x + 5x2 – 25x + 125
= x+ 125

अभ्यास (c)

गुणनफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
(x + 2) (x + 5)
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प्रश्न 2.
(X – 4) (x + 7)
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प्रश्न 3.
(x – 3) (x – 8)
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प्रश्न 4.
(x2 + 5) (x2 – 7)
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प्रश्न 5.
(3x + 8) (4x – 7)
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प्रश्न 6.
(5x – 3y) (3x + 4y)
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प्रश्न 7.
(x2 + 2xy + y2) (x – y)
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प्रश्न 8.
(2x2 + 3x – 7) (5x + 4)
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प्रश्न 9.
(x2 – xy + y2) (x + y) से गुना कीजिए उतर की जाँच कीजिए ,यदि x = 3, y= 2
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प्रश्न 10.
(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) से गुना कीजिए उतर की जाँच कीजिए ,यदि x = 2, y= 1
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प्रश्न 11.
कविता ने पुस्तक विक्रेता से (3x + 7) कॉपियाँ खरीदीं। यदि प्रत्येक कॉपी का मूल्य (2x – 1) हो, तो।
(i) कुल कॉपियों का मूल्य कितना है?
हल :
कॉपियों की संख्या = (3x +7)
प्रत्येक कॉपी का मूल्य = ₹ (2x – 1)
अतः कॉपियों का कुल मूल्य = (3x + 7) (2x – 1)
= 3x (2x – 1) +7 (2x – 1)
= 6x2 – 3x + 14x -7
= ₹ (6x2 + llx – 7)

(ii) यदि x = 5, तो कविता ने पुस्तक विक्रेता को कितने रुपये दिए?
हल :
यदि x = 5 हो, तो मूल्य = 6x2 + 11x – 7
= 6 (5)2 + 11 (5) -7
= 150 + 55-7
= 205 – 7 = ₹ 198

अभ्यास 8 (d)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में समीकरण तथा सर्वसमिका छाँटकर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
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प्रश्न 2.
दिखाइए किः (i) 3x (x +1) = 3x2 + 3x एक सर्वसमिका है।
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अभ्यास 8 (e)

सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 की सहायता से मान ज्ञात कीजिएः

प्रश्न 7.
एक बाग में (x + 2y) पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में (x + 2y) पेड़ लगे हैं। ज्ञात कीजिए

(i) बाग में कुल कितने पेड़ हैं?
हल :
बाग में पंक्तियाँ = (x + 2y)
प्रत्येक पंक्ति में पेड़ = (x + 2y)
अतः पेड़ों की कुल संख्या = (x + 2y) (x + 2y) = (x + 2y)2
= x2 + 2 × x × 2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

(ii) यदि x = 3, y = 2, तो बाग में पेड़ों की कुल कितनी संख्या है?
हल :
यदि x = 3. y = 2 है, तो
पेड़ों की कुल संख्या = (x + 2y)2
= (3 + 2 x 2) = (3 +4) = (7)2 = 49

प्रश्न 8.
एक वर्गाकार खेत की भुजा (3x +y) मी लम्बी है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वर्गाकार खेत की भुजा = (3x + y)
खेत को क्षेत्रफल = ( भुजा)2
= (3x + y)2
= (3x)2 + 2x 3x Xy + (y)2
= (9x2 + 6xy + y2) मी2

अभ्यास 8 (f)

सर्वसमिका (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 की सहायता से मान ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 7.
एक वर्गाकार खेत की एक भुजा की माप (3x – y) मी० है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : वर्गाकार खेत की भुजा = (3x -y)
खेत का क्षेत्रफल = (भुजा)2
= (3x -y)2
= (3x)2 -2 × 3x × y + (y)2
= (9x2 – 6xy + y2) मी2

प्रश्न 8.
एक खेत में (x – 2y) क्यारियाँ हैं। प्रत्येक क्यारी में (x – 2y) पपीते के पौधे लगे हैं। ज्ञात कीजिए
(i) खेत में कितने पपीते के पौधे हैं?
हल :
क्यारियों की संख्या = (x – 2y)
प्रत्येक क्यारी में पौधों की संख्या = (x – 2y)
अतः खेत में पपीते के पौधों की संख्या = (x – 2y) (x- 2y)
= (x -2y)2
= x2 – 2 × x × 2y + (2y)2
= (x2 – 4xy + 4y2) पौधे ,

(ii) यदि x = 10, y=1, तो कुल पौधों की संख्या कितनी है?
हल :
यदि x = 10, y= 1 है, तो
पौधों की संख्या = x2 – 4xy + 4y2
= (10)2 -4x 10 x 1 +4 (1)2
= 100 -40 +4
= 64 पौधे

प्रश्न 9.
(i)
एक कलम का मूल्य र (2x – y) है। इसी प्रकार की (2x – y) कलमों का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल :
1 कलम का मूल्य = (2x – y) रु०
(2x – y) कलमों का मूल्य = (2x -y) (2x -y) ,
= (2x -y)
= (2x)2 – 2 × 2x × y + (y)2
= ₹ (4x2 – 4xy + y2)

(ii) यदि x = 6, y = 2, तो कुल कलमों का कितना मूल्य होगा?
हल :
यदि x = 6, y = 2 है, तो
कलमों का मूल्य = 4x2 – 4xy + y2
= 4 (6)2 – 4 × 6 × 2 + (2)2
= 144 – 48 + 4
= ₹ 100

अभ्यास 8 (g)

सर्वसमिका (a + b) (a – b) = a2 – b2 का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिएः

प्रश्न 5.
सर्वसमिका का प्रयोग कर (4x + 2y) (4x – 2y) का मान ज्ञात कीजिए, उत्तर की जाँच कीजिए, यदि x = 2,y = 1.
हल :
(4x + 2y) (4x – 2y)
= (4x)2 – (2y)2
= 16x– 4y2

उत्तर की जाँच : यदि x = 2, y = 1 तो

L.H.S. (4x + 2y) (4x – 2y)
= (4 × 2 + 2 × 1) (4 × 2 – 2 × 1)
= (8 + 2) (8 – 2) = 10 × 6 = 60

R.H.S. 16x2 – 4y
= 16 (2)2 – 4 (1)2
= 64 – 4 = 60

⇒ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 6.
एक आयताकार मैदान की लम्बाई (2x + 1) मी तथा चौड़ाई (2x – 1) मी है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार मैदान की लम्बाई = (2x + 1) मी
आयताकार मैदान की चौड़ाई = (2x – 1) मी
आयताकार मैदार का क्षेत्रफल = (2x + 1) (2x – 1)
= (2x)2 – (1)2 = (4x2 – 1) मी2

प्रश्न 7.
(i)
एक पुस्तक का मूल्य १ (3x + 1) है। इसी प्रकार की (3x – 1) पुस्तकों का मूल्य ज्ञाँत कीजिए।
हल :
एक पुस्तक का मूल्य = र (3x + 1)
(3x – 1) पुस्तकों का मूल्य = १ (3x + 1) (3x – 1)
= (3x)2 – (1)2 = ₹ (9x2 – 1)

(ii) यदि x = 3, तो पुस्तकों की संख्या कितनी होगी?
हल :
यदि x = 3 है, तो
पुस्तकों की संख्या = (3x – 1)
= (3 × 3 – 1) = 9 – 1 = 8

(iii) यदि x = 4, तो पुस्तकें खरीदने में कुल कितने रुपये लगे?
हल :
यदि x = 4 है, तो
पुस्तकों का कुल मूल्य = 9x2 -1
[9 x (4)2 – 1] = [(9 x 16) – 1]
= 144-1 = ₹ 143

सर्वसमिकाओं का प्रयोग से निम्नलिखितँ के मान ज्ञात कीजिए:

अभ्यास 8 (h)

सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नांकित के मान ज्ञात कीजिए:


दक्षता अभ्यास 8

निम्नांकित के गुणनफल ज्ञात कीजिए।


सर्वसमिकाओं के प्रयोग से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 19.
निम्नलिखित को सरल कीजिए:
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प्रश्न 20.
यदि x + frac { 1 }{ x }= frac { 10 }{ 3 }, तो x2 + left( -frac { 1 }{ x } right) ^{ 2 } का मान ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 30

प्रश्न 21. यदि x – frac { 1 }{ x }frac { 3 }{ 2 } तो x2left( -frac { 1 }{ x } right) ^{ 2 }का मन ज्ञात कीजिए
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 31 प्रश्न 22.
दिखाइये।
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 32

(b) (4mn + 3n)2 – (4mn – 3n)2 = 48 mn2

(c) (a-b) (a + b) + (b-c) (b + c) + (e-a) (c+a) = 0
UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 8 व्यंजकों का गुणनफल एवं सर्वसमिकाएँ 34

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